Nomenclatura Algebraica

Expresión Algebraica.

Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Término.

Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. (2xy)

Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo -. El signo + suele omitirse delante de los términos positivos, por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.

El coeficiente, es uno de los factores del término.

La parte literal la constituyen las letras que haya en el término.

El grado de un término.

Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales (ab = Segundo grado). El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra.

Clases de términos.

Término entero es el que no tiene denominador literal. (5a, 2b/5)

Término fraccionario es el que tiene denominador literal. (3c/b)

Término racional es el que no tiene radical (2x²), e irracional el que tiene radical .

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. (4x² y ab)

Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto. (5b o 6c³)

Monomio.

Es una expresión algebraica que consta de un solo término. (3x, -7b)

Polinomio.

Es una expresión algebraica que consta de más de un término (a + b; a + x + y). Binomio es un polinomio que consta de dos términos (a + b). Trinomio es un polinomio que consta de tres términos (x + y + z; d⁵ + e + f⁷).

El Grado.

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Clases de Polinomios.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal como x²+5x-6; ; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador como  racional cuando no tiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional cuando tiene radical, como  homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, como 4a³+5a²b+6ab²+b³ y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como x³+x²+x-6.

Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Ejemplos:

x⁵+x⁴-x³+x²-3x es completo respecto de la x.

a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴ es completo respecto de a y b.

Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentando o disminuyendo. Ejemplos:

x⁴-4x³+2x²-5x+8 está ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x.

a⁵-2 a⁴b+6a³b²-5a²b³+3ab⁴-b⁵ está ordenado en orden descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.

Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.

Término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no tiene dicha letra. Ejemplo:

En el polinomio a³-a²+3a-5, el término independiente con respecto a la a es 5 porque no tiene a.

El término independiente con relación a una letra puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero, porque toda cantidad elevada a la cero equivale a 1.

Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplos:

2a y a; -2b y 8b; -5a³b² y -8a³b²; x^m+1 y 3x^m+1.

Reducción de términos semejantes.

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

1)      Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Regla: Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. (3a+2a=5a; -5b-7b=-12b)

2)      Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Regla: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. De esta regla se deduce que dos términos semejantes de iguales coeficientes y de signo contrario se anulan. (2x-3x=-x;-20b+29b=9b)

3)      Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos. Regla: Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior. (5x-8x+x-6x+21x=13x)

Valor numérico.

En una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. (x=1, y=2; 3x+8y= 3[1]+8[2]=3+16=19).

Notas sobre el concepto de número.

El concepto de número natural que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica.

En Álgebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo especial de número. Conviene, pues, considerar como se ha ampliado el campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que el número natural no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los casos.

El número entero y el número fraccionario.

Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonia, etc.) realizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios y los egipcios conocían las fracciones.

La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llevó a la humanidad a introducir los números fraccionarios. El resultado de esto lo podemos expresar con un par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dará el número de partes en que hemos dividido una unidad, y el numerador, el número de subunidades que agarramos de esa división de la unidad. De esa forma es como surgen los números fraccionarios.

Podemos decir también, que son números fraccionarios los que nos permiten expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo mismo, una división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor. En oposición a los números fraccionarios tenemos los números enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una división exacta.

El número racional y el número irracional.

Es indudable que los griegos fueron quienes conocieron primero los números irracionales. Los historiadores de la Matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C), el descubrimiento de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.

Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Llamamos número reales al conjunto de los números racionales e irracionales.

Los números positivos y negativos.

Los números negativos no fueron conocidos por los matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C), que en su Aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +. En el siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y – para caracterizar los números positivos y negativos.

La significación de los números relativos o con signos (positivos y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de una región determinada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado.

Históricamente, los números negativos surgen para hacer posible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operación inversa de la suma, y hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.

Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo – que llevan antepuesto. Los números positivos y su representación literal llevan el signo +, siempre que no inicien una expresión algebraica.

El número cero.

Cuando tratamos de aprehender el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí. Por extensión llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el número 1. Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos.

Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar:

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.